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对角线互相平分且相等的四边形是矩形吗为什么

2023-02-07文化阅读 0
  对角线相等且互相平分的四边形是矩形,是矩形的判定定理。
设在四边形ABCD中,对角线AC=BD,且AC和BD互相平分,求证:四边形ABCD是矩形。
  
证明:
∵AC和BD互相平分,
∴四边形ABCD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是矩形),
∴AB=DC(平行四边形对边相等),
又∵AC=BD,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB(SSS),
∴∠ABC=∠DCB,
∵AB//DC(平行四边形对边平行),
∴∠ABC+∠DCB=180°(两直线平行,同旁内角互补),
∴2∠ABC=180°(等量代换),
∴∠ABC=90°,
∴四边形ABCD是矩形(矩形定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形)。

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